Raketenballistik

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  • Flugbahn ungelenkter Raketen (I)

    Modellrakten besitzen i.d.R. keine aktiven Elemente, die den Flug der Rakete beeinflußen. Es ist deshalb möglich, Raketen als Massepunkt zu betrachten. Da die verwendeten Feststoffmotoren meist eine kurze Brenndauer aufweisen, lassen sich weitere Vereinfachungen vornehmen.
    Bei diesem Modell greifen drei Größen im Schwerpunkt einer Rakete an (Schubkraft des Motors, Gewicht und Luftwiderstand). Die Momente und die aerodynamsichen Kräfte werden vernachläßigt. Obwohl es bei Modellraketen nicht üblich ist, diese schräg zu starten, soll hier der Vollständigkeit halber auch ein Startwinkel, der von der Senkrechten nach oben abweicht, angenommen werden.

    Schubphase
    Bei Raketen mit Feststoffmotoren geht man im allgemeinen davon aus, dass die Schubphase kurz ist. Wenn man gleichzeitig einen gleichmäßigen Abbrand voraussetzt, kann man für die Schubphase Vereinfachungen an der Formel vornehmen. Zusätz wird davon ausgegangen, dass der Einfluss der Schwerkraft und des Luftwiderstands gering sind.

    Mit dieser Formel kann die Schubphase, wie folgt berechnet werden.

    Die Strecke, die durch den Einfluss der Schwerkraft nicht berücksichtigt wurde, ergibt sich aus:

    Man sieht deutlich, dass mit kleiner werdenden Startwinkel auch der Korrekturanteil kleiner wird. Startet die Rakete senkrecht, dann wird erreicht der Korrekturanteil seinen größten Wert.

    	Beispiel:
    	Im Internet findet für eine ungelenkte Rakete vom Typ S-5 KO folgende Daten:
    	Gesamtmasse = 4,5 kg; Treibstoff = 1,3 kg; Brenndauer 0,9s. 
    	Nimmt man einen Komposittreibstoff an, dann beträgt der spezifische 
    	Impuls etwa 1850 m/s.Der Schub ermittelt sich aus: 
    		Treibstoff / Brenndauer * Spez. Impuls = 1,3kg / 0,9s * 1850 m/s = 2672 N.
    	Die Beschleunigung ergibt als: 
    		Schub / mittlere Masse = 2672 N / (4,5kg - 1,3/2 kg) = 694 m/s^2. 
    	Die Brennschlussgeswindigkeit ist dann: 
    		Beschleunigung * Brenndauer = 694 m/s^2 * 0,9s = 624 m/s. 
    	Die maximale Geschwindigkeit bei Brennschluss laut Daten beträgt: 586 m/s. 
    	Der Fehler ohne Berücksichtigung der Anfangsgeschwindigkeit betrügt 
    	etwa 6%, mit Berücksichtigung etwa 13%.
    	

    Maximale Flugweite
    Es soll vorkommen, dass der Bergungsmechanismus einmal nicht funktioniert. In diesem Fall sollte man vorher wissen, wie weit ein Modell maximal fliegen kann. Bei Modellen, die mit einer Brennschlussgeschwindigkeit von unter 150 m/s fliegen, kann der Luftwiderstand vernachläßigt werden. Ausgehend von der maximalen Brennschlussgeschwindigkeit ermittelt man zuerst die Zeit, die die Rakete bis zur maximalen Steighöhe benötigt.

    Mit der Flugzeit bestimmt man die Werte für Weite und Höhe:

    Die gleiche Strecke wird für den Sinkflug benötigt, daher ergibt sich:
    Die gefundene Formel zeigt, dass die maximale Weite erreicht wird, wenn gilt:

    Wie erwartet, wird die größte Weite bei einem Winkel von 45░ erreicht. Zu der so bestimmten Strecke muss noch zweimal die Strecke addiert werden, die während der Schubphase zurückgelegt wird.

    	Beispiel:
    	Eine kleine Rakete wiegt 72g. Ein C6 Motor von SF hat ein Gesamtgewicht 
    	von 24g, der darin enthaltene Treibstoff wiegt 12g. Das mittlere Gewicht 
    	beträgt 72g + 24g - 6g = 90g. Der mittlere Schub beträgt 6N; die Brenndauer 
    	ist mit 1,6s angegeben. Die Brennschlussgeschwindigkeit ist damit 
    	v = F / m * t = 6N / 0,09kg * 1,6s = 107m/s.
    	
    	Die Weite ergibt sich mit s = F / m * t^2 = 6N / 0,09kg * 2,56s^2 = 170m.
    	
    	Ein Startwinkel von 45grd verkürzt die Weite auf 120m.
    	Der Einfluß der Erdbeschleunigung verkürzt die Strecke um 
    	s' = g/2 * 0,7 * t^2 = 9,81m/s^2 / 2 * 0,7 * 2,56s^2 = 8,8m.
    	
    	Die Freiflugstrecke ergibt sich aus 
    	s = v^2 / g = (107m/s)^2 / 9,81m/s^2 = 1167m.
    	
    	Für die Gesamtstrecke errechnet sich ein sehr optimistischer Wert 
    	von 2 * (120m-8,8m) + 1167m = 1389m.